Каждая клетка таблицы 11×11 покрашена в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный. Известно, что одноцветные клетки не граничат по стороне, а также что красные и синие клетки не граничат по стороне. Сколько зелёных клеток может быть в таблице?
1 Ответ
Исходя из условия, зелёные клетки могут быть связаны с красными и синими только углами.
Для начала, рассмотрим угловую клетку. Она имеет три соседних клетки, которые не могут быть зелеными (по условию), и три клетки на противоположной стороне таблицы, которые также не могут быть зелеными, так как они находятся через две другие клетки. Таким образом, угловая клетка имеет восемь запрещенных клеток вокруг нее.
Теперь рассмотрим клетку, которая граничит с углом. У нее есть две соседние клетки, которые уже заняты угловой клеткой, и две клетки на противоположной стороне, которые заняты клетками, граничащими с углом. Это означает, что у нее есть шесть запрещенных клеток.
Используя это рассуждение, можно сказать, что каждая клетка, не являющаяся угловой, имеет на одну запрещенную клетку меньше, чем предыдущая клетка.
Давайте подсчитаем общее количество запрещенных клеток:
Угловые клетки: 8
Не угловые клетки (их 10): 6 + 5 + 4 + … + 1 = 10 * (1 + 10) / 2 = 52
Всего запрещенных клеток: 8 + 52 = 60
Таким образом, количество зеленых клеток должно быть равно: 121 — 60 = 61
Ответ: 61 зеленых клеток