1 Ответ
8 класс:
1. В гимнастическом кружке занимается 13 девочек. На соревнованиях могут выступать только команды, состоящие из двух или из трёх гимнасток. Команды отличаются только составом, порядковых номеров ни у самих команд, ни у участниц внутри команд нет. Сколько существует различных способов разбить девочек на команды таким образом, чтобы все девочки приняли участие в этих соревнованиях, причём каждая девочка выступила ровно один раз?
Ответ: 24
2. На балу мальчики танцевали с девочками, причём каждая пара танцевала не более одного танца. Мальчиков было пятеро. После бала каждый мальчик рассказал, со сколькими девочками он потанцевал, и оказалось, что были названы 5 последовательных натуральных чисел. А каждая из девочек рассказала, что танцевала со всеми мальчиками, кроме кого-то одного.
Ответ: 5 и 20
3. На стадионе Илья и Дима готовились к соревнованиям и решили устроить два тренировочных забега. Ребята вышли на старт прямолинейной беговой дорожки. Первым стартовал Дима, а через 30 секунд после этого вслед за ним стартовал Илья. Когда прошло еще полминуты, оказалось, что Дима пробежал уже половину длины этой беговой дорожки, а Илья только четверть. Немного отдохнув после первого забега, ребята начали второй забег. Теперь они решили побежать навстречу друг другу, стартуя одновременно с противоположных концов этой же беговой дорожки.
Ответ: 144, Дима, 2
4. Придя на тренировку по футболу, Дима не поздоровался с четвертью ребят из секции, не считая себя. Один из тех ребят, с кем он поздоровался, Серёжа, сам поздоровался с одной четвертой от тех футболистов, с кем поздоровался Дима, не считая себя.
Ответ: 16, 4, 9
5. У трёхзначного числа N было шесть натуральных делителей. Его записали два раза подряд без пробелов и у полученного числа оказалось уже 18 натуральных делителя. Каким могло быть исходное число N? Найдите все варианты.
Ответ: 143
6. Зал кинотеатра представляет собой прямоугольник 8×10 мест. На сеанс привели класс, в котором учатся отличники и хулиганы. Отличники всегда говорят правду, хулиганы всегда лгут. Считается, что два человека сидят рядом, если они занимают места соседние по стороне или по диагонали. Каждый школьник сказал фразу: «Рядом со мной сидит хулиган». Какое наибольшее количество хулиганов может присутствовать на сеансе?
Ответ: 20
7. Найдите значения выражения в численном виде:
Ответ: 1022
8. На медиане СМ треугольника АВС выбрана точка Р так, что угол АРМ — прямой. Точка Q лежит на отрезке РC, причем CQ = 4 и РM = 2. Известно также, что АC = 5. Найдите BQ.
Ответ: 5
9 класс:
1. На шахматную доску выставляют королей трёх цветов: красного, синего и зелёного. Какое максимальное число королей можно выставить на доску 4х4, чтобы короли одного цвета не били друг друга?
Ответ: 8
2. На острове рыцарей и лжецов рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На «Празднике середины осени» проводили фуршет. 899 гостя рассадили за 5-местные и 6-местные столики, причем пустых мест за столиками не осталось. Когда все расселись, каждый житель написал в своем личном блоге: «Не считая меня, за моим столиком сидит как минимум 4 лжеца».
Ответ: 178, 0, 149
3. Корни приведённого квадратного трёхчлена x2+bx+c — натуральные числа, а разность его коэффициентов c-b равна 31. Найдите все возможные значения наименьшего из корней этого трёхчлена.
Сколько вариантов ответа в этой задаче? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно.
Запишите все возможные значения наименьшего из корней этого трёхчлена в порядке возрастания без пробелов, не используя никакие знаки препинания. В качестве ответа вводите натуральное число, если вариантов ответа несколько, запишите их в порядке возрастания без пробелов, не используя никакие знаки препинания.
Ответ: 4, 13
4. Известно, что число а = 1+корень 5/2 называют золотым числом…
Ответ: 2
5. В прямоугольном треугольнике ABC отметили точку M — середину гипотенузы AB. Точка D выбрана на продолжении прямой AC за точку , а точка E на отрезке BC. Точка N — середина отрезка DE . Оказалось, что MN=AM=7 и CBN=30. Найдите DE.
Ответ: 14
6. В четырехугольнике ABCD отметили середины AB, BC и AD…
Ответ: 3.2
7. Известно, что в записи пятой степени натурального числа N используются цифры 2, 5, 7 и 8 – каждая по одному разу, и ещё две двойки и две шестёрки.
Ответ: 21, 85766121
8. На доске написано число 5670000. Каждую минуту робот «Мультипликатор» производит с записанным на доске числом следующую операцию: умножает его на одну из трёх дробей – или на 4/3 или на 9/5 или на 25/7, но только если полученное в результате число будет целым. Полученное после умножения целое число робот записывает на доску вместо предыдущего.
Ответ: 9 и 4