В клетках таблицы 14×14 расставили числа от 1 до 196, каждое по разу. В каждой строке все числа идут по возрастанию слева направо, и в каждом столбце все числа идут по возрастанию сверху вниз. Назовём число особым, если оно отличается от каждого своего соседа хотя бы на 2. Какое наибольшее количество особых чисел может быть?
1 Ответ
Предположим, что на главной диагонали стоят числа n и n+1. Тогда эти числа не могут быть особыми, так как они отличаются от своих соседей (n-1 и n+2) меньше, чем на 2.
Таким образом, на главной диагонали могут стоять не более двух особых чисел.
Если число n стоит на побочной диагонали, то его соседями являются n-13 и n+13. Для того чтобы число n отличалось от каждого из них больше, чем на два, необходимо, чтобы n — 13 ≥ n — 2 и n + 13 ≥ n + 2, т.е. n ≤ 11 и n ≥ 17. Таким образом, на побочную диагональ можно поставить не более шести особых чисел: 12, 13, …, 17.
В итоге получаем, что всего можно поставить не более 8 особых чисел (два на главной диагонали и шесть на побочной). Ответ: 8