Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [13; 70]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.
а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в 7 раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?
1 Ответ
а) Предположим, что произведение Петиных чисел ровно вдвое больше произведения Васиных чисел. Тогда мы можем представить Петин результат как 2 * (Васин результат) + k, где k — натуральное число. Однако при увеличении каждого из Васиных чисел мы получаем числа, которые больше их минимум на 1, поэтому Петино произведение всегда будет больше 2 * Васино произведение. Ответ: может.
б) Аналогично, предположим, что Петин результат ровно в 7 раз больше Васиного. Тогда Петино произведение можно представить как 7 * Васино произведение + k. Однако увеличение каждого из Васиных чисел приведет к числам, которые больше минимум на 1. Таким образом, Петин результат всегда будет больше 7 * Васин результат, что противоречит условию. Ответ: не может.
в) Заметим, что при увеличении каждого числа на 1 произведение увеличивается. Поэтому нам нужно найти максимальное возможное увеличение произведения. Для этого нам нужно максимизировать каждое число на 1 так, чтобы их произведение было максимальным. Это достигается, если все числа равны 70.В этом случае увеличение каждого числа на 1 приведет к произведению (70 + 1) * (70 + 1), что примерно в 4,91 раза больше произведения 70 * 70. Ответ: в 4,91 раз (в 5 раз)