Каждый из 2024 людей является рыцарем или лжецом. Какое наименьшее число лжецов могло быть среди этих людей?

Минимальное количество лжецов, удовлетворяющих всем условиям задачи, равно 1012.

Доказательство:

1. Доказательство существования: Примером распределения людей, удовлетворяющего всем условиям, может быть следующий: Пусть 1011 людей — рыцари, а остальные 1013 людей — лжецы. Тогда каждый рыцарь говорит правду о количестве своих друзей, указывая верное число 1012, а каждый лжец, прибавляя или вычитая 1, указывает другое число от 0 до 2022. Таким образом, все люди говорят разные числа.
2. Доказательство минимальности: Рассмотрим произвольное распределение людей на лжецов и рыцарей, удовлетворяющее всем условиям. Так как все рыцари говорят правду, а все лжецы врут на 1, то разность между количеством лжецов и количеством рыцарей равна 1012 (так как всего ответов было от 0 до 2023). Без ограничения общности можно считать, что количество лжецов не меньше количества рыцарей. В противном случае, мы можем просто поменять “лжец” и “рыцарь” местами для всех людей.