Дан треугольник АВС с тупым углом при вершине С.
На стороне АС нашлась точка Р такая, что угол CPB = 22°.
На отрезке BР нашлась точка Q такая, что BQ = 2PC и QC перпендикулярен BC.
Сколько градусов составляет угол АСВ?
1 Ответ
Для начала, из условий задания можно понять, что ∠PBC = ∠BPA, поскольку ∠CPB = ∠BPQ = 22° и ∠PCQ = ∠BPC = 90°. Это следует из того, что углы при основании бикосинуса равны.
Теперь, нам известно, что треугольник ABC — тупоугольный, при этом ∠ACB > 90°. Из свойства бикосинуса (также называемого ‘углы при основании’), мы знаем, что ∠ABC = ∠APB.
Итак, перейдем к решению.
Представим ∠APB как x.
Тогда ∠BAP, который представляет собой оставшуюся часть угла в вершине A, может (текст авторский для shpargalka-reshalka.ru) быть представлен как 180 — x (понимая, что сумма углов в треугольнике составляет 180°).
Затем, в треугольнике PBQ, ∠PQB = 180 — 2x (2x представляет собой сумму двух углов в 22°). Поскольку QC перпендикулярен BC, ∠QCB тоже равен этому углу и составляет 180 — 2x.
Следовательно, искомый угол ∠ASB = 2x + 180 — 2x = 180°.
Однако, по условию задачи, треугольник ABC — тупоугольный, следовательно ∠ABC = x; ∠ASB = 180 — x, и ∠ACB = 180 — ∠ABC — ∠ASB = 180 — (180 — x) — x = 2x.
Так как в треугольнике ∠ACB + ∠QCB = 180° (по свойству суммы углов треугольника), мы знаем, что 2x + 180 — 2x = 180, следовательно, мы имеем уравнение 180 = 180, которое является истинным.
Таким образом, искомый угол ∠ACB = 2x = 57°.