1 Ответ
10 класс
1. Вася написал на доске несколько различных двузначных чисел.
Оказалось что сумма никаких двух из написанных на доске чисел не равна 90.
Какое максимальное количество чисел мог написать Вася?
Ответ: 55
2. Дан квадратный трехчлен f(x). Известно что существуют пары различных чисел (m,k) таких что fm/fk=m/k. Назовем такие пары хорошими.
Докажите, что значение выражения m•k во всех хороших парах одинаково.
3. На доске были написаны не обязатаельно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого исходного числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму S1. Вася вычел из каждого исходного числа на доске 2, затем сложил можули всех получившихся чисел и получил сумму S2 Наконец Андрей вычел из каждого исходного числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму S3. Сколько двоек было написано на доске ?
4. Есть 30 нечетных на уральных чисел. Оказалось что их можно разбить на 10 троек так что в каждой тройке одно из чисел равно произведению двух других.
Может ли сумма этих 30 чисел равняться 2024?
5. В трапеции ABCD длина боковой стороны AB равна сумме длин оснований. Окружность с центром в точке A, проходящая через D, пересекает отрезки BD и BA в точках E и F соответственно.
Докажите, что точки B C E F лежат на одной окружности.