Делимость натуральных чисел: признаки делимости на 2, 5 и 10

Натуральное число делится на другое натуральное число, если при делении получается целое частное без остатка. Для проверки делимости на 2, 5 и 10 достаточно посмотреть на последнюю цифру: подходят соответственно чётные цифры, 0 или 5, и только 0. Эти правила помогают быстро проверить число без письменного деления или калькулятора.

Опорные правила делимости натуральных чисел

• Делимость означает, что частное — целое число, а остаток равен нулю.
• На 2 делятся числа, последняя цифра которых — 0, 2, 4, 6 или 8.
• На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5.
• На 10 делятся числа, оканчивающиеся на 0.
• Для этих проверок достаточно знать последнюю цифру числа.

Что означает делимость одного натурального числа на другое

Число a делится на натуральное число b, если существует натуральное число k, для которого a = b × k. Тогда a называют делимым, b — делителем, а k — частным.

Например, 24 делится на 6, потому что 24 = 6 × 4. А 25 не делится на 6 без остатка: при делении получается частное 4 и остаток 1.

В делении на ноль делимость не рассматривают: делитель должен быть ненулевым. Для положительных натуральных делителей признаки ниже применяются к натуральным числам; правила основаны на записи числа в десятичной системе счисления.

Как связаны делимость, частное и остаток

Деление с остатком выражается равенством a = b × q + r, где q — частное, а r — остаток. Число a делится на b без остатка ровно тогда, когда r = 0.

1. Выберите делимое и делитель, причём делитель не должен быть нулём.
2. Разделите делимое на делитель или примените подходящий признак делимости чисел.
3. Если частное целое и остаток равен нулю, делимость есть.
4. Если остаток не равен нулю, делимое не кратно выбранному делителю.
5. Проверьте результат умножением: делитель, умноженный на частное, должен дать исходное число.

Признак делимости на 2: проверяем последнюю цифру

Число делится на 2, если его последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6 или 8. Например, 138 делится на 2, а 137 — нет.

Признак удобно применять в типичных случаях:

• проверить, получится ли целое количество пар предметов;
• определить, чётное ли многозначное число;
• быстро отобрать числа, которые могут делиться на 10: для этого нужна последняя цифра 0, а значит, число одновременно делится на 2;
• проверить делимость большого числа без вычисления всего частного.

Признак делимости на 5: когда подходят 0 и 5

Число делится на 5, если последняя цифра — 0 или 5. Например, 245 делится на 5, а 247 — нет. Чтобы проверить делимость, не требуется складывать цифры или делить число столбиком.

Преимущества признака:

• нужно проверить только одну цифру;
• правило работает и для небольших, и для многозначных чисел;
• если последняя цифра 0, число также делится на 2 и на 10.

Ограничения:

• окончание на 5 подтверждает делимость на 5, но само по себе не подтверждает делимость на 2 или 10;
• окончание на 0 подтверждает делимость на 5, но для проверки на другие делители нужны их собственные признаки.

Признак делимости на 10 и его связь с признаками на 2 и 5

На 10 делятся числа, последняя цифра которых — 0. Такое число также делится и на 2, и на 5: 370 оканчивается на 0 и подходит под все три признака.

При использовании правил делимости чисел не допускайте распространённых ошибок:

• Окончание на 2, 4, 6 или 8 означает делимость на 2, но не обязательно на 5 или 10.
• Окончание на 5 означает делимость на 5, но не на 2 и не на 10.
• Окончание на 0 подходит для всех трёх проверок, но не означает, что число делится на любой другой делитель.
• Для этих признаков важна последняя цифра, а не сумма всех цифр числа.

Если нет калькулятора или неудобно выполнять письменное деление, используйте последнюю цифру. Если её трудно увидеть в длинной записи, сначала перепишите или продиктуйте только окончание числа, а затем сравните его с подходящим правилом.

Проверьте число по шагам: краткий список для признаков делимости

Пусть нужно проверить число 635 на 2, 5 и 10. Последняя цифра — 5: число не делится на 2, делится на 5 и не делится на 10. Это пример делимости на 2, 5 и 10 без вычисления частного.

Для самопроверки используйте короткий алгоритм:

1. Выберите делитель: 2, 5 или 10.
2. Посмотрите на последнюю цифру числа.
3. Для 2 проверьте, чётная ли она; для 5 — равна ли 0 или 5; для 10 — равна ли 0.
4. Назовите результат и при необходимости подтвердите его делением с остатком.

Нюансы при проверке делимости на 2, 5 и 10

Почему для этих признаков достаточно последней цифры?

При делении на 2, 5 и 10 вклад разрядов, стоящих левее последней цифры, кратен каждому из этих чисел. Поэтому результат проверки определяется окончанием числа.

Число оканчивается на 5. Делится ли оно на 2?

Нет. Число, оканчивающееся на 5, не делится на 2, потому что его последняя цифра нечётная.

Если число делится на 10, делится ли оно на 2 и на 5?

Да. Число, оканчивающееся на 0, удовлетворяет признакам делимости на 2 и на 5.

Если число делится на 2 и на 5, делится ли оно на 10?

Для натурального числа — да: совместно эти условия означают, что его последняя цифра равна 0, а значит, число делится на 10.

Нужно ли складывать цифры для проверки делимости на 2, 5 или 10?

Нет. Для этих трёх делителей достаточно проверить последнюю цифру; сумма цифр в этих признаках не используется.

Можно ли применять эти правила к числам с большим количеством цифр?

Да. Размер числа не меняет правила: для проверки делимости на 2, 5 и 10 достаточно прочитать его последнюю цифру.