Чтобы решить задачу о совместной работе, выразите производительность каждого исполнителя как долю задания за единицу времени, затем сложите скорости тех, кто работает одновременно. Время найдите делением всего объёма работы на общую производительность. Если исполнители подключаются по очереди, делают перерывы или меняют темп, рассчитывайте выполненные доли отдельно для каждого этапа.
Ориентиры для расчёта совместной производительности
- Сначала определите, что считается целым заданием: например, один заказ, участок работы или весь объём.
- Переводите время в одинаковые единицы — часы, минуты или дни.
- Складывайте скорости только для исполнителей, которые работают одновременно и независимо.
- При смене условий разбивайте задачу на этапы и учитывайте вклад каждого исполнителя отдельно.
- Проверяйте ответ обратным расчётом: суммарно должно получиться ровно одно задание.
Как выразить производительность каждого исполнителя через долю задания
Этот способ подходит для задач на работу с решениями, где известны время выполнения всего задания или объём работы за единицу времени. Он удобен, когда работу можно измерить едиными условными единицами. Не используйте модель постоянной скорости без оговорок, если темп меняется, часть работы нельзя выполнять параллельно или условие прямо задаёт разные нормы для этапов.
Если исполнитель выполняет всё задание за (t) часов, его производительность равна (1/t) задания в час. Если за час он выполняет (a) единиц работы, скорость равна (a) единиц в час. Важно не смешивать эти два способа измерения внутри одного вычисления.
Например, если один работник выполняет заказ за 6 часов, а другой — за 3 часа, их скорости составляют (1/6) и (1/3) заказа в час. При одновременной работе они вместе выполняют (1/2) заказа за час.
Когда скорости работы складываются, а когда — нет
Для расчёта понадобятся данные об объёме задания, времени или норме каждого исполнителя, а также сведения о расписании работы. Инструменты не требуются: достаточно записать формулы и привести величины к единым единицам. Главная проверка — действительно ли исполнители могут работать одновременно над общим объёмом.
- Складывайте скорости, когда исполнители работают параллельно, а их вклад в общий результат независим.
- Не складывайте скорости напрямую, если один этап зависит от завершения другого или исполнители выполняют разные части с отдельными ограничениями.
- Учитывайте только фактическое время работы, если кто-то начинает позже или делает перерыв.
В задачах на совместную работу одинаково важно проверить не только арифметику, но и модель: равномерный ли темп предполагает условие и может ли вся работа выполняться одновременно.
Как найти время совместной работы по известным нормам
Перед вычислениями проверьте ограничения: темп должен быть задан или считаться постоянным на каждом этапе; периоды работы не должны быть ошибочно приняты за одновременные; единицы времени должны совпадать; объём задания должен пониматься одинаково для всех исполнителей.
-
Определите целое задание.
Обозначьте весь объём за 1, если скорости заданы долями задания. Если в условии указаны изделия, страницы или метры, используйте эту единицу во всех расчётах. -
Найдите скорость каждого исполнителя.
Если исполнитель завершает работу за (t) единиц времени, его скорость равна (1/t) задания за единицу времени. Если дана норма, возьмите её напрямую, предварительно сверив единицы измерения. -
Составьте расписание работы.
Отметьте, кто и в какой промежуток работает. Для одинакового одновременного периода сложите скорости; для последовательных этапов вычисляйте объём каждого этапа отдельно. -
Найдите общую скорость и время.
При одновременной работе сложите скорости исполнителей: (v_{text{общ}}=v_1+v_2+dots). Для выполнения всего задания разделите объём на общую скорость: (T=1/v_{text{общ}}). -
Проверьте результат обратным расчётом.
Умножьте скорость каждого исполнителя на время, когда он действительно работал, и сложите полученные доли. Сумма должна совпасть с объёмом задания.
Разбор: первый исполнитель делает заказ за 6 часов, второй — за 3 часа. Вместе их скорость равна (1/6+1/3=1/2) заказа в час, поэтому весь заказ они выполнят за (1/(1/2)=2) часа. Проверка: (2/6+2/3=1) заказа.
Сравнение исполнителей: таблица скоростей, времени и объёма работы
Таблица помогает выбрать подходящий способ записи: через скорость, время выполнения или фактический объём. Она также показывает, какие сведения нужно привести к общим единицам перед решением.
| Что известно | Как записать скорость | Когда удобно | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Время на всё задание (t) | (1/t) задания за единицу времени | Объём задания принят за 1 | Время выражено в нужных единицах |
| Объём за единицу времени (a) | (a) единиц работы за единицу времени | Задание измеряется изделиями, страницами или другими величинами | Норма относится к тому же виду работы |
| Объём за несколько единиц времени | Объём разделить на время | Норму нужно получить из двух данных величин | Деление выполнено в согласованных единицах |
- Проверьте, что объём целого задания задан однозначно.
- Сверьте единицы скорости и времени.
- Убедитесь, что периоды одновременной работы выделены отдельно.
- Проверьте, что скорость каждого участника относится к нужному этапу.
- При последовательной работе сложите объёмы этапов, а не скорости исполнителей.
- Сделайте обратный расчёт и проверьте, что сумма долей равна всему заданию.
Как учитывать перерывы, смену темпа и подключение исполнителей
В задачах на производительность труда частая ошибка — применять одну общую скорость ко всему времени, хотя условия меняются. Разбейте процесс на интервалы, в каждом укажите работающих исполнителей и продолжительность, затем сложите выполненные доли.
- Не считайте исполнителя работающим во время перерыва.
- Не включайте скорость нового участника в общий расчёт до момента его подключения.
- Не суммируйте скорости исполнителей, если один должен ждать завершения этапа другим.
- Не меняйте единицы времени посреди вычислений без пересчёта скорости.
- Не считайте производительность постоянной, если условие задаёт изменение темпа.
- Не округляйте промежуточные значения слишком рано: это может исказить итог.
Если один работник трудился (x) часов, а второй присоединился позже, сначала найдите долю, выполненную первым. Затем вычтите её из полного объёма и разделите остаток на общую скорость следующего этапа.
Проверка решения: единицы измерения, границы ответа и типичные ошибки
Для задач на работу ЕГЭ с решениями полезно записывать формулу, подстановку и единицу ответа отдельно. Если требуется точное время, сохраняйте дробь до конца; если условие просит округлить, применяйте указанное правило. Выберите один из способов проверки в зависимости от структуры условия:
- Обратный расчёт. Подходит для одновременной работы с постоянными скоростями: скорость каждого участника умножают на общее время, затем складывают доли.
- Проверка по этапам. Уместна при перерывах, смене темпа или подключении исполнителей: сумма объёмов на всех этапах должна совпасть с полным заданием.
- Оценка порядка величины. Если исполнители работают вместе, время обычно меньше времени самого быстрого из них при положительных скоростях; результат, противоречащий этому, требует проверки модели и вычислений.
Чтобы понять, как решать задачи на работу, сначала установите режим выполнения, затем выберите единый способ измерения скорости и только после этого вычисляйте время. Такой порядок помогает выявить ошибки в допущениях, а не только в арифметике.
Нюансы задач о совместной работе
Всегда ли нужно считать объём задания равным единице?
Нет. Это удобно, когда известны времена выполнения всего задания. Если условие задаёт конкретный объём в изделиях или других единицах, можно считать именно его.
Когда можно складывать скорости исполнителей?
Когда они работают одновременно, их вклад независим, а скорости относятся к одному и тому же заданию. Если работа идёт последовательно или этапы зависят друг от друга, считайте объём по этапам.
Как учесть, что один исполнитель начал позже?
Сначала найдите долю, выполненную до его подключения. Затем рассчитайте оставшийся объём с учётом совместной скорости тех, кто продолжает работу.
Что делать, если скорости указаны в разных единицах?
Переведите их в согласованные единицы до сложения. Например, нельзя напрямую складывать норму в изделиях за час и норму в изделиях за минуту.
Почему время совместной работы может быть дробным?
Дробное значение показывает часть выбранной единицы времени. Переводите его в минуты или другую единицу только после завершения вычислений и с учётом точности условия.
Как проверить ответ, если работа идёт в несколько этапов?
Для каждого этапа умножьте скорость исполнителя или группы на фактическое время их работы. Сложите полученные объёмы: итог должен равняться полному заданию.