Две команды спортсменов бегут колоннами навстречу друг другу. Длина каждой колонны 𝑙, число спортсменов в командах одинаково. Первая команда бежит со скоростью 𝑣1, вторая – со скоростью 𝑣2. Каждый спортсмен, встречаясь со спортсменом из другой команды, разворачивается и начинает бежать в обратном направлении с той же по модулю скоростью (только если спортсмены встречаются лицом к лицу, если один из них догоняет другого со спины – разворота не происходит).
Ставится задача: найти, какими станут длины колонн после их полного разворота (одна из них может оказаться и отрицательной – это означает, что порядок спортсменов в колонне изменился на обратный).
1 Ответ
После полного разворота каждая команда пробежит расстояние, равное удвоенной длине колонны (до разворота). Спортсмены первой команды пробегут это расстояние со скоростью v1, а спортсмены второй команды – со скоростью v2.
Пусть t – время, которое потребуется для полного разворота команд. Тогда:
– первая команда пробежит 2l со скоростью v1 за время 2l/v1,
– вторая команда пробежит 2l со скоростью v2 за время 2l/v2.
Поскольку обе команды начинают разворот одновременно, t = min(2l/v1, 2l/v2).
Если t = 2l/v1, то длина первой колонны после разворота будет равна:
l’1 = v1t — l = v1(2l/v1) — l = l — l = 0
То есть после разворота первая колонна исчезнет.
Если t = 2l/v2, то длина второй колонны после разворота будет равна:
l’2 = v2t — l = v2(2l/v2) — l = l — l = 0
И наоборот, если t = 2l/v1 < 2l/v2 (или наоборот), то первая (или вторая) колонна после разворота станет отрицательной, что означает, что спортсмены в колонне развернулись в обратном порядке.
Таким образом, после полного разворота одна из колонн исчезнет, а другая изменит свою длину на противоположную.