1 Ответ
1.
Можно ли в прямоугольнике 2 × 4 разместить однозначные числа без повторов так, чтобы любых двух чисел, соседних по стороне, являлась простым числом?
2.
Первоклассник Паша выложил из спичек пример 88 + 5 = 93. Учитель поставил пятёрку.
(а) Помогите первокласснику Андрею тоже получить пятёрку, переложив в Пашином примере ровно одну спичку так, чтобы равенство осталось верным.
(b) Придумайте свой верный пример из 5 различных цифр, выложенных спичками, так что в нём можно переложить одну спичку от одной цифры к другой, чтобы снова получилось верное равенство (иными словами, знаки арифметических операций изменять нельзя, а знак «=» нельзя перечёркивать).
3.
Сколько решений имеет фигурное судоку, изображённое справа? Не забудьте доказать, что никаких других решений нет. Примечание. По правилам фигурных судоку 5 × 5 во всех строках, столбцах и выделенных блоках должны встречаться все цифры от 1 до 5.
4.
Маша и Костя по очереди ставят в клетки шахматной доски знаки + и — (начинает следующим правилам:
• каждым ходом игрок выбирает произвольную свободную клетку, и ставит в неё один знак по своему выбору;
• если после хода игрока в клетку некоторого цвета оказалось, что в клетках этого цвета поровну плюсов и минусов, то игрок автоматически считается проигравшим;
• после заполнения доски отдельно для чёрных и белых клеток вычисляется, каких знаков оказалось больше: если в одном цвете больше плюсов, а в другом больше минусов, то побеждает Маша, иначе побеждает Костя.
Кто может обеспечить себе победу, и как для этого необходимо действовать?
5.
Несколько детей пришли писать очный этап олимпиады.
• Среди них есть две девочки, каждая из которых знакома ровно с четырьмя мальчиками.
• Среди них есть пять девочек, каждая из которых знакома ровно с двумя мальчиками.
• Остальные девочки (если имеются) знакомы ровно с тремя мальчиками каждая.
• Каждый мальчик знаком с четырьмя девочками. Какое наименьшее количество девочек могли прийти на олимпиаду? Не забудьте доказать, что это действительно минимальное количество.
6.
Офис компании расположен на отдельном этаже бизнес-центра. В каждой комнате находится отдел, которым руководит менеджер. Директор компании решил повысить некоторых руководителей отделов до главных менеджеров. Однако нельзя допустить, чтобы двумя соседними отделами руководили главные менеджеры (иначе они будут спорить через стенку, кто из них главнее). Какое максимальное количество менеджеров можно повысить в должности? Не забудьте объяснить, почему оно действительно максимальное.
7.
Кресла на кресельном подъёмнике Розы Хутор пронумерованы последовательно: 1, 2, 3 и т. д. Расстояния между каждыми двумя соседними сиденьями одинаковы. Во время грозы кресельный подъёмник остановился, и в этот момент кресло 22 находилось на одной высоте с креслом 59, а кресло 93 — на той же высоте, что и кресло 142.
Определите количество кресел на кресель- ном подъёмнике.