Петя задумал составное натуральное число N, меньшее 1000. Он выписал на доску все натуральные делители N, не равные 1. Оказалось, что два наименьших числа на доске различаются на 39. Чему может быть равно N?
1 Ответ
Решение:
Пусть x и y — два наименьших делителя числа N, причем x < y. Тогда y = x + 39.
Так как числа x и y являются делителями N, то и их произведение xy также является делителем N. Следовательно, xy <= N < (x + 39)(y + 39).
Поскольку xy и (x + 39)(y + 39) отличаются на 1, то одно из них должно быть меньше 500, а другое — больше 499. Это возможно только в том случае, если xy = 499, а (x + 39)(y + 39) = 500.
Решая систему уравнений xy = 499 и (x+39)(y+39)=500 относительно x и y, получаем два решения (82, 42) и (2, 401). Заметим, что 2 не является натуральным числом, поэтому второе решение не подходит.
Таким образом N = 82