На координатной плоскости нарисован параллелограмм ABCD. Известно, что две из линий у = n, где n — целые числа, проходят через вершины А и С, а ещё 35 из этих линий пересекают параллелограмм не в вершинах А и С, при этом одна из линий проходит через вершины В и D. Найдите сумму длин отрезков, высекаемых параллелограммом на этих линиях, если известно, что самый длинный из этих отрезков имеет длину 100.
1 Ответ
Решение:
Пусть линии у = n проходят через точки A(x1, y1) и C(x2, y2). Тогда, поскольку прямые параллельны, y1 — y2 = n для всех n.
Поскольку 35 прямых пересекают параллелограмм, они пересекают его сторону AB или CD, причем одна из них пересекает сторону BC или DA. Пусть прямая y = k пересекает сторону AB в точке E(x3, k). Тогда сумма длин отрезков на прямых y = n равна |x1 — x3| + |x2 — x3|.
По условию, самый длинный отрезок имеет длину 100, поэтому |x1 — x2| = 100 и, следовательно, |x1 — x3| + |x2 — x3| ≤ 100 + 100 = 200.
Таким образом, сумма длин отрезков не превышает 1800.