Двум мальчикам выдали по мешку картошки, в каждом мешке по 150 клубней. Ребята по очереди перекладывают картошку, каждый своим очередным ходом перекладывает ненулевое количество клубней из своего мешка в чужой. При этом они должны соблюдать условие новой возможности: на каждом ходе мальчик должен переложить больше клубней, чем у него было в мешке перед любым из его предыдущих ходов (если такие ходы были). Так, первым своим ходом мальчик может переложить любое ненулевое количество, а своим пятым ходом мальчик может переложить 200 клубней, если перед его первым, вторым, третьим и четвертым ходами количества клубней в его мешке был меньше 200. Какое максимальное суммарное количество ходов могут совершить ребята?
1 Ответ
Ответ. 19.
Решение. Пусть в процессе было N ходов. Посмотрим на процесс «в обратную сторону». Назовём последний сделанный ход первым, предпоследний (сделанный другим мальчиком) — вторым, и т.д. Обозначим через a0 количество клубней в мешке, из которого их перекладывали на первом ходе, после этого хода (то есть в самом конце процесса). Аналогично, обозначим через ai−1 количество клубней в мешке, из которого перекладывали
на i-м ходе, непосредственно после этого хода. Наконец, обозначим через aN количество клубней в мешке, в который перекладывали на N-м (самом раннем) ходе, перед этим ходом (тогда aN = 150).
Значит, из условия bN <= 150 получаем, что N <=19.