Чтобы построить окружность, вписанную в угол, проведите его биссектрису и выберите на ней точку центра. Из центра опустите перпендикуляр на любую сторону угла: полученный отрезок станет радиусом. Проведите окружность этим радиусом. Она будет касаться обеих сторон, если центр лежит на биссектрисе, а радиус меньше расстояния до вершины.
Признаки правильно построенной окружности в угле
- Центр окружности находится на биссектрисе угла.
- Радиус проведён перпендикулярно к стороне угла.
- Расстояния от центра до обеих сторон равны.
- Окружность касается обеих сторон, не пересекая их.
- Для окружности с центром внутри угла радиус меньше расстояния от центра до вершины.
Какие инструменты понадобятся для построения
Инструкция подойдёт для геометрической задачи, где угол задан двумя лучами и требуется построить касательную к ним окружность внутри угла. Понадобятся циркуль, линейка без делений и карандаш. Не начинайте построение, если лучи или вершина угла не определены: сначала уточните, какой именно угол и где должна находиться окружность.
Циркуль держите за рукоятку, не направляйте острые ножки на себя и не оставляйте его раскрытым на краю стола. Линейкой проводят прямые и лучи; для точного переноса длины используйте циркуль, а не измерение на глаз.
Как найти центр окружности с помощью биссектрисы
Центр любой окружности, касающейся обеих сторон угла, равноудалён от этих сторон. Геометрическое место таких точек — биссектриса угла. Поэтому центр выбирают на биссектрисе, а радиус определяют как перпендикулярное расстояние от центра до стороны.
Требуются только заданный угол, линейка и циркуль. Если задана конкретная точка центра, проверьте, лежит ли она на биссектрисе; если нет, окружность с этим центром не сможет касаться обеих сторон.
Пошаговое построение циркулем и линейкой
Перед началом учитывайте ограничения: точка центра должна располагаться внутри угла; для окружности, целиком помещающейся в угле, радиус должен быть меньше расстояния от центра до вершины; лучи угла должны быть достаточно длинными на чертеже, чтобы отметить точки касания; точность зависит от аккуратности построения и толщины линий.
- Постройте биссектрису. Из вершины угла проведите дугу, пересекающую обе стороны. Из двух полученных точек одинаковым радиусом проведите дуги, отметьте их пересечение внутри угла и соедините его с вершиной.
- Выберите центр. Отметьте точку O на биссектрисе внутри угла. Для окружности, которая не должна включать вершину или пересекать её окрестность, выбирайте центр так, чтобы будущий радиус был меньше расстояния от O до вершины.
- Опустите перпендикуляр. Из точки O постройте перпендикуляр к одной стороне угла. Обозначьте основание перпендикуляра T. Отрезок OT — радиус будущей окружности.
- Проведите окружность. Установите иглу циркуля в O, раскройте его до точки T и начертите окружность. Не меняйте раствор циркуля во время проведения окружности.
- Проверьте касание второй стороны. Постройте перпендикуляр из O ко второй стороне и сравните его длину с OT. Для точного построения расстояния должны совпадать; небольшое видимое расхождение обычно связано с толщиной линий.
Для видео удобно показывать крупным планом каждое построение: дуги биссектрисы, точку O, перпендикуляр OT и окружность. Такой порядок поясняет, как построить окружность, вписанную в угол, и позволяет зрителю повторять действия без догадок.
Как провести касательные к обеим сторонам угла
Стороны угла являются касательными к окружности в точках, где радиусы перпендикулярны этим сторонам. Используйте контрольный список, чтобы проверить построение:
- Центр O лежит на биссектрисе угла.
- Отрезок OT образует прямой угол со стороной.
- Точка T находится на стороне угла, а не на её продолжении.
- Перпендикуляр из O ко второй стороне построен аналогично.
- Расстояния от O до обеих сторон равны.
- Точки касания лежат на соответствующих сторонах.
- Окружность касается сторон только в этих точках и не пересекает их.
Проверка радиуса и точки касания
При способе «вписанная окружность в угол построение» чаще всего возникают ошибки в определении центра, перпендикуляра или радиуса. Проверьте результат по пунктам:
- Биссектриса построена по точкам, полученным дугами одинакового радиуса.
- Центр не смещён с биссектрисы при проведении линии.
- Перпендикуляр опущен именно из центра окружности.
- Раствор циркуля установлен по отрезку от центра до точки касания.
- Циркуль не раздвигался и не сдвигался при проведении окружности.
- Радиус не выбран больше расстояния от центра до вершины, если окружность должна оставаться внутри угла.
- Точки касания не перепутаны с пересечениями окружности со сторонами.
Ошибки при построении и способы их исправить
- Центр не на биссектрисе. Постройте биссектрису заново и перенесите центр на неё.
- Перпендикуляр проведён неточно. Повторите контрольное построение перпендикуляра и заново настройте циркуль по его длине.
- Окружность пересекает сторону. Проверьте положение центра и радиус. Если окружность должна целиком оставаться внутри угла, уменьшите расстояние от центра до сторон, выбрав другую точку на биссектрисе ближе к вершине.
- Нужна заданная окружность, а не произвольная. Если заданы радиус или точка центра, сначала проверьте совместимость условий: центр должен лежать на биссектрисе, а его расстояние до стороны должно совпадать с заданным радиусом.
Если требуется только наглядное объяснение, можно сначала выполнить построение циркулем и линейкой, а затем обозначить на рисунке центр, радиус и точки касания разными цветами. Для точного решения геометрической задачи цветовые пометки не заменяют проверку перпендикулярности и равенства расстояний.
Нюансы построения в острых, прямых и тупых углах
Можно ли вписать окружность в любой угол?
Для любого угла между двумя лучами можно выбрать центр на его внутренней биссектрисе и построить окружность, касающуюся продолжений сторон. Чтобы окружность целиком помещалась внутри угла и не захватывала вершину, нужно выбрать радиус меньше расстояния от центра до вершины.
Меняется ли способ для острого угла?
Нет, принцип тот же: центр лежит на биссектрисе, а радиус перпендикулярен стороне. В остром угле особенно важно проверить, что окружность не пересекает стороны за точками касания.
Как построить окружность в прямом угле?
Проведите биссектрису прямого угла и выберите на ней центр. Перпендикулярное расстояние от центра до каждой стороны будет одинаковым.
Что учитывать в тупом угле?
Построение выполняется теми же действиями. Следите, чтобы центр находился внутри выбранного угла, а основания перпендикуляров располагались на его сторонах.
Можно ли задать радиус заранее?
Да, но радиус должен совпадать с расстоянием от центра до каждой стороны. Если центр тоже задан, он должен лежать на биссектрисе, иначе окружность не будет касаться обеих сторон.
Почему окружность касается стороны только в одной точке?
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Если построенный круг пересекает сторону в двух точках, значит, положение центра или величина радиуса выбраны неверно.
Как построить окружность, если под рукой только циркуль и линейка?
Проведите биссектрису, выберите на ней центр, постройте перпендикуляр к стороне и используйте его длину как раствор циркуля. Это стандартное построение окружности циркулем и линейкой без измерительной шкалы.
Автор: Екатерина Попова.